স্বাভাবিক সংখ্যাজগতের (natural numbers) এক অনন্য প্রজাতির বাসিন্দা হলো “মৌলিক সংখ্যা” (prime numbers)। যে সংখ্যাগুলো কেবলমাত্র ১ এবং সেই সংখ্যাটি দ্বারা বিভাজ্য, তাদের বলে “মৌলিক সংখ্যা”। আক্ষরিক অর্থে মৌলিক সংখ্যারাই সংখ্যাজগতের ভিত্তিপ্রস্তর কারণ তারা অন্যান্য স্বাভাবিক সংখ্যা গঠনের প্রধান উপাদান হিসেবে কাজ করে (অন্য সংখ্যাগুলোকে বলে “যৌগিক সংখ্যা”)। একেবারে গোড়ার দিকের মৌলিক সংখ্যাগুলো, অর্থাৎ ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, … ইত্যাদিদের দিকে যদি তাকাও, তাহলে দেখতে পাবে ২ ছাড়া সবকটি সংখ্যাই বিজোড় (odd numbers) এবং এদের বিন্যাসেরও কোনো সুনির্দিষ্ট নিয়ম আপাতভাবে দেখা যায় না। সুতরাং প্রশ্ন ওঠে এই মৌলিক সংখ্যাদের কি কোনো শেষ আছে ? এটা ইতিমধ্যেই প্রমাণিত যে মৌলিক সংখ্যার কোনো শেষ নেই। সুতরাং পরবর্তী সমস্ত গবেষণার একটা মূখ্য কেন্দ্রীয় প্রশ্ন হলো এরকম – তোমায় একটা বড় সংখ্যা দেওয়া হলো, যতটা বড় তুমি ভাবতে চাও, তুমি কি বলতে পারবে সংখ্যাটা মৌলিক নাকি মৌলিক নয় ? এই প্রশ্নের উত্তর দিতে গিয়ে আমাদের আরেকটা প্রশ্নের সম্মুখীন হতে হয়। এই প্রশ্নটা হলো কোনো একটি সংখ্যার উৎপাদক নির্ণয়ের সমস্যা। আমরা এবার চেষ্টা করবো এই প্রশ্নটার উত্তর একটু বৃহত্তর প্রেক্ষিতে খোঁজার।
জানা কথা থেকে অজানার দিকে :
স্কুলের গন্ডির মধ্যে আমরা ইতিমধ্যেই প্রাথমিক কিছু মৌলিক সংখ্যা (যেমন – ২, ৩, ৫, ১১ , … ইত্যাদি) দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম সম্পর্কে জেনেছি। যেমন ধরো – কোনো সংখ্যা যদি “জোড়” (even numbers) হয়, তাহলে তা ২ দ্বারা বিভাজ্য। আবার কোনো একটি সংখ্যার অঙ্কগুলির বা রাশিগুলির (digits) সমষ্টি যদি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে সংখ্যাটিও ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে। কোনো সংখ্যার এককের রাশিটি যদি ০ বা ৫ হয়, তাহলে সংখ্যাটিও ৫ দ্বারা বিভাজ্য। কোনো সংখ্যার একান্তর রাশিগুলির (alternating digits) সমষ্টির অন্তর যদি ০ বা ১১ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে সংখ্যাটি ১১ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
কিন্তু ৭, ১৩, ১৭, বা ১৯ … ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যাগুলি দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম সম্বন্ধে আমরা কি বলতে পারি ? এই সংখ্যাগুলি দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম সম্পর্কে আলোকপাত করার জন্যই এই প্রবন্ধের অবতারণা। বৃহত্তর আঙ্গিকে আমাদের উদ্দেশ্য হলো এমন নিয়মের উল্লেখ করা যা শুধু এই কয়েকটি বিশেষ মৌলিক সংখ্যাই নয়, যেকোনো মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্যতার জন্য প্রযুক্ত হবে।
পুনশ্চ : আমাদের আসন্ন আলোচনার ক্ষেত্রে আমরা ২ ও ৫ – এই দুটি মৌলিক সংখ্যাকে বাদ রাখবো। তার দুটি কারণ – প্রথমতঃ, ২ এবং ৫ দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম সত্যিই সহজ ; এবং দ্বিতীয়তঃ, এই দুই মৌলিক সংখ্যা ব্যতিরেকে অন্য সকল মৌলিক সংখ্যা “
চাবি–সংখ্যার কারসাজি :
আমাদের আলোচনায় প্রতিটি মৌলিক সংখ্যার সঙ্গে একটি করে “চাবি সংখ্যা”কে জুড়ে দেওয়া যাক। এই চাবি-সংখ্যাগুলো ওই মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়মের মধ্যে একটা গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা নিতে চলেছে। ধরা যাক, একটা মৌলিক সংখ্যা “
| ৭ | ৭ | ৫ |
| ১১ | ৯ | ১০ |
| ১৩ | ৩ | ৪ |
| ১৭ | ৭ | ১২ |
| ১৯ | ১ | ২ |
| ২৩ | ৩ | ৭ |
ধরা যাক “
“কোনো একটি মৌলিক সংখ্যা “
নিজে করো :
চেষ্টা করে দেখো খাতায়-কলমে এই বক্তব্যটা প্রমাণ করার!!
একটা সহজ উদাহরণ দিলেই ব্যাপারটা জলের মতো সোজা হয়ে যাবে। ধরো – তুমি জানতে চাও “৪৬৬৯” সংখ্যাটি “৭” দ্বারা বিভাজ্য কিনা !! তার জন্য শুরুতেই আমাদের প্রয়োজন খুঁজে বের করা ৭ এর চাবি সংখ্যাটি। বেশি ছোটাছুটি না করে ওপরের তালিকায় একবার চোখ বুলিয়ে নিলেই দেখতে পাবে ৭ এর চাবি সংখ্যাটি হলো ৫। সুতরাং – ৭ দ্বারা ৪৬৬৯-এর বিভাজ্যতার সমস্যাটির সমতুল্য সমস্যাটি হলো ৭ দ্বারা ৯x১২৫+৬x২৫+৬x৫+৪ = ১৩০৯-এর বিভাজ্যতা, এবং এখান থেকে সিদ্ধান্তে আসাই যায় যে ৪৬৬৯ সংখ্যাটি ৭ দ্বারা বিভাজ্য। এবার তোমরা বলতেই পারো, এটা করে লাভ কি ? দুটোই তো বিভাজ্যতার সমস্যা। ব্যাপারটা হলো ছোট মৌলিক সংখ্যার ক্ষেত্রে পার্থক্যটা বোঝা মুশকিল কিন্তু “
নিজে করো :
ঠিক একইভাবে তোমরা চেষ্টা করে দেখতে পারো ১৩৪৯ সংখ্যাটি ১৯ দ্বারা বিভাজ্য কিনা !!
মডিউলার অপেক্ষক : আমাদের পরবর্তী আলোচনার সুবিধার্থে আমরা এবার “ভাগশেষ”-কে একটু ভদ্র চোখে দেখবো। কোনো একটি সংখ্যা “
![Mod[n,p]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=Mod%5Bn%2Cp%5D&bg=ffffff&fg=000080&s=2 "Mod[n,p]")
![Mod [10^n,p]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=Mod+%5B10%5En%2Cp%5D&bg=ffffff&fg=000080&s=2 "Mod [10^n,p]")
![Mod [k^n,p]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=Mod+%5Bk%5En%2Cp%5D&bg=ffffff&fg=000080&s=2 "Mod [k^n,p]")
| n | ০ | ১ | ২ | ৩ | ৪ | ৫ | ৬ | ৭ | ৮ | ৯ | ১০ | ১১ | ১২ |
![Mod [10^n,7]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=Mod+%5B10%5En%2C7%5D&bg=ffffff&fg=000080&s=2 "Mod [10^n,7]") | ১ | ৩ | ২ | ৬ | ৪ | ৫ | ১ | ৩ | ২ | ৬ | ৪ | ৫ | ১ |
![Mod [10^n,11]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=Mod+%5B10%5En%2C11%5D&bg=ffffff&fg=000080&s=2 "Mod [10^n,11]") | ১ | -১ | ১ | -১ | ১ | -১ | ১ | -১ | ১ | -১ | ১ | -১ | ১ |
![Mod [10^n,13]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=Mod+%5B10%5En%2C13%5D&bg=ffffff&fg=000080&s=2 "Mod [10^n,13]") | ১ | ১০ | ৯ | ১২ | ৩ | ৪ | ১ | ১০ | ৯ | ১২ | ৩ | ৪ | ১ |
![Mod [5^n,7]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=Mod+%5B5%5En%2C7%5D&bg=ffffff&fg=000080&s=2 "Mod [5^n,7]") | ১ | ৫ | ৪ | ৬ | ২ | ৩ | ১ | ৫ | ৪ | ৬ | ২ | ৩ | ১ |
![Mod [4^n,13]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=Mod+%5B4%5En%2C13%5D&bg=ffffff&fg=000080&s=2 "Mod [4^n,13]") | ১ | ৪ | ৩ | ১২ | ৯ | ১০ | ১ | ৪ | ৩ | ১২ | ৯ | ১০ | ১ |
আগেও আমরা যেমনটা দেখেছি, তেমনই কল্পনা করি যে “
“কোনো একটি মৌলিক সংখ্যা “![Mod[fk^5 + ek^4 + dk^3 + ck^2 + bk +a, p] = 0](http://s0.wp.com/latex.php?latex=Mod%5Bfk%5E5+%2B+ek%5E4+%2B+dk%5E3+%2B+ck%5E2+%2B+bk+%2Ba%2C+p%5D+%3D+0&bg=ffffff&fg=000080&s=2 "Mod[fk^5 + ek^4 + dk^3 + ck^2 + bk +a, p] = 0")
নিজে করো :
চেষ্টা করে দেখো খাতায়-কলমে এই বক্তব্যটা প্রমাণ করার!! একটু খেয়াল করে দেখলেই বুঝবে, যদি “
![Mod [f+e+d+c+b+a, 3] = 0](http://s0.wp.com/latex.php?latex=Mod+%5Bf%2Be%2Bd%2Bc%2Bb%2Ba%2C+3%5D+%3D+0&bg=ffffff&fg=000080&s=2 "Mod [f+e+d+c+b+a, 3] = 0")
![Mod [-f+e-d+c-b+a,11] = 0](http://s0.wp.com/latex.php?latex=Mod+%5B-f%2Be-d%2Bc-b%2Ba%2C11%5D+%3D+0&bg=ffffff&fg=000080&s=2 "Mod [-f+e-d+c-b+a,11] = 0")
হবে। এবার খেয়াল করে দেখো, সেইক্ষেত্রে কোনো 
![Mod [a \times (11a' + Mod [100000,11]) + b \times (11b' + Mod [10000,11]) + \cdots + f \times (11f' + Mod [1,11]), 11] = 0](http://s0.wp.com/latex.php?latex=Mod+%5Ba+%5Ctimes+%2811a%27+%2B+Mod+%5B100000%2C11%5D%29+%2B+b+%5Ctimes+%2811b%27+%2B+Mod+%5B10000%2C11%5D%29+%2B+%5Ccdots+%2B+f+%5Ctimes+%2811f%27+%2B+Mod+%5B1%2C11%5D%29%2C+11%5D+%3D+0&bg=ffffff&fg=000080&s=2 "Mod [a \times (11a' + Mod [100000,11]) + b \times (11b' + Mod [10000,11]) + \cdots + f \times (11f' + Mod [1,11]), 11] = 0")
হতে হবে। অর্থাৎ
![Mod [a \times (Mod [100000,11]) + b \times (Mod [10000,11]) + \cdots + f \times (Mod [1,11]),11]= 0](http://s0.wp.com/latex.php?latex=Mod+%5Ba+%5Ctimes+%28Mod+%5B100000%2C11%5D%29+%2B+b+%5Ctimes+%28Mod+%5B10000%2C11%5D%29+%2B+%5Ccdots+%2B+f+%5Ctimes+%28Mod+%5B1%2C11%5D%29%2C11%5D%3D+0&bg=ffffff&fg=000080&s=2 "Mod [a \times (Mod [100000,11]) + b \times (Mod [10000,11]) + \cdots + f \times (Mod [1,11]),11]= 0")
হতে হবে। যা
নিজে করো :
তোমরা চেষ্টা করে দেখো তো নির্ণয় করতে পারো কিনা
পরিশেষে দাঁড়িয়ে দুই গণিতজ্ঞের কথা বলতেই হয়, ফার্মা এবং অয়লার। যাঁদের অবিস্মরণীয় কীর্তি “ফার্মা’স লিটল থিওরেম” এবং “অয়লার্স থিওরেম” যা “মডুলার পাটিগণিত” এর দুই স্তম্ভ হিসেবে দাঁড়িয়ে আছে, যেখান থেকে খুব সহজেই তোমরা দেখতে পাবে বিভিন্ন বড়ো বড়ো সংখ্যাকেও যেকোনো মৌলিক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে সেই কঠিন কাজও কত সহজে করা যায়। তাই চোখ বুলিয়ে দেখতে পারো নিচের তথ্যসূত্রে।
প্রচ্ছদ : স্টিফেন শ্যানক্ল্যান্ড
তথ্যসূত্র: নিচে উইকিপিডিয়ার তিনটি পেজ এবংএকটি বইয়ের নাম উল্লেখ করলাম। তোমরা যারা উৎসাহী, ওই জায়গাগুলোয় দেখার সাথে সাথে সেখানে উল্লিখিত অন্য বইও দেখতে পারো।
১) https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_little_theorem ,
২) https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_theorem ,
৩) https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic ,
৪) ডেভিড এম. বার্টন এর লেখা “এলিমেন্টারি থিওরি অফ নাম্বারস” .
The post মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্যতা appeared first on বিজ্ঞান - বাংলা ভাষায় বিজ্ঞান জনপ্রিয়করণের এক বৈদ্যুতিন মাধ্যম (An online Bengali Popular Science magazine).